Musik und Mathematik


Von Karl Sumereder (Genius, 2/2207)

Musik, vor allem „punktgenau“ komponierte Musik, beeinflusst, wie Studien beschreiben, das seelische und körperliche Wohlbefinden. Durch bestimmte Rhythmen, Lautstärken und Tonhöhen wird eine vermehrte Produktion körpereigener Drogen bewirkt. Musik erhöht auch die Ausschüttung von Oxitocin, das soziale Bindungen fördert. Musik wird auch in der Schmerztherapie und in der Rehabilitation nach Herzinfarkten eingesetzt, da sie Herzfrequenz und Atmung synchronisieren kann.

In der Musik ist der Klang, etwas anderes als Geräusch oder Lärm, ein Grundmaterial. In der Physik gilt Klang als Gemisch aus einem hörbaren Grundton und mehr oder weniger zahlreichen Obertönen, welche Klangintensität und Klangfarbe bestimmen. Je einfacher das Zahlenverhältnis der Klänge zu einander ist, desto näher ist ihre Verwandtschaft und desto angenehmer der Zusammenklang für unser Ohr.

Mathematik ist bekanntlich die Sprache, in der naturwissenschaftliche Theorien formuliert werden. Für viele hat die Mathematik allerdings das Image des Unverständlichen und des Spröden.

Was hat nun die Schönheit und die Harmonie der Musik mit spröder Mathematik zu tun?

Pythagoras von Samos

Um diese wenig bekannte Beziehung aufzuspüren, ist in der abendländischen Geschichte bis zum größten Philosophen der vorsokratischen Epoche, nämlich auf Pythagoras (ungefähr 580 bis 500 v.u.Z.) zurückzugehen.

Pythagoras, von der griechischen Insel Samos, ist der Überlieferung nach von seiner Heimatinsel nach Milet gezogen, wo er ein Schüler des Thales von Milet (636 bis 546 v.u.Z.) wurde. Er unternahm dann ausgedehnte Reisen in den Orient und lebte eine zeitlang in Babylon. Dort wurde er sowohl mit der ägyptischen und der babylonischen, als auch der indischen Mathematik, sowie mit der chinesischen Harmonik vertraut.

Pythagoras, der Begründer sowohl der systematischen theoretischen Mathematik als auch der griechisch-abendländischen Harmonik, ist uns allerdings vor allem durch den nach ihm benannten mathematischen Lehrsatz bekannt: „Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden Kathendenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat“.

Musik als Erkenntniswerkzeug

Weniger bekannt ist, dass sein besonderes Interesse, wie übrigens auch des späteren großen Philosophen Platon (ca. 427 bis 347 v. u. Z.), auch der Musik und dem Rhythmus galt. Der Rhythmus offenbarte ihm nämlich erstaunliche zahlenmäßige Beziehungen, welche die Harmonien einer gezupften Saite verbinden. Pythagoras gilt so als der Entdecker der musikalischen Tonleiter.

Der Legende nach ging Pythagoras einmal an einer Schmiede vorbei und gewahrte, dass die Hämmer beim Aufschlagen verschiedene Töne erklingen ließen. Bei seinen weiteren Nachprüfungen stellte er intuitiv fest, dass die Tonhöhe von geometrischen Maßen und von Gewichten abhängig ist, sowie dass das Ohr unmittelbar quantitative Beziehungen wahrnehmen kann. Beim Spielen auf einem Monochord, das ist ein längliches Holzkästchen mit einer einzigen Saite, fand er heraus, dass der höhere Ton einer Oktave mit der doppelten Frequenz des Grundtons schwingt. Weiters, dass Intervalle umso angenehmer klingen, je einfacher das Schwingungsverhältnis ist. Beim Anzupfen der Saite ohne Steg darunter erzeugte er einen reinen Ton, den sogenannten Grundton. Setzte er den Steg an verschiedene Stellen unter die Saite, so ergaben sich beim Anzupfen unterschiedliche Tonhöhen. Setzte er den Steg genau in die Mitte der Saite, dann lieferte jede ihrer Hälften genau denselben Ton, der um genau eine Oktave höher war als der Grundton. Durch das Verschieben des Steges erreichte er irgendwann ein Teilungsverhältnis von drei zu zwei. In diesem Fall ergaben die beiden Teile der Saite zwei Töne, die eine reine Quinte bildeten. Dieses Intervall wiederum spielt bei musikalischen Harmonien eine ganz entscheidende Rolle. Seither gilt:

Oktave 1:2 (nach sieben Tönen kommt der erste wieder)
Quinte 2:3
Quart 3:4

große Sexte 3:5
große Terz 4:5
kleine Terz 5:6
kleine Sexte 5:8 (harmonische Akkorde)

kleine Septiem 5:9
große Sekund 8:9
große Septiem 8:15
kleine Sekund 15:16
Tritonus 32:45 (verminderte Quint)

Für Pythagoras war Musizieren im Grunde eine mathematische Betätigung. So wie Quadrate und Dreiecke, waren auch die Geraden Zahlenfiguren. Daher war für ihn das Teilen einer Saite in zwei Abschnitte Dasselbe, als bildete er das Verhältnis zweier Zahlen. Pythagoras erkannte, dass sich die musikalischen Intervalle durch das Verhältnis der Töne zu einander bestimmen lassen.

Das System der Tonzahlen, das Numerische, wurde für Pythagoras so das Symbol für die wahre Bedeutung des Kosmos. Er kam zur Einsicht, dass die Zahlenwelt ein göttliches Prinzip, die Grundstruktur allen Seins ist.

Die frühen Chinesen, Inder und die Mayas waren ebenfalls der Überzeugung, dass dem Universum ein Rhythmus zugrunde liege, der sich in verschiedenen Zahlenmustern ausdrückt.

Der größte in der Tat von Klang erfüllte Raum ist das Universum. Planeten, Pulsare, Asteroiden und so weiter erzeugen nämlich Schwingungen, die extrem verlangsamt für uns hörbar werden. Diese „Weltraummusik“ ist allerdings viel rhythmischer, als sich Pythagoras oder der Astronom Johannes Kepler (1571-1631) ihre Sphärenmusik vorgestellt hatten.

Die Welt der Töne

Jeder Ton bedeutete Pythagoras eine Wechselbeziehung von Maß und Schwingung. Er erkannte, wenn man eine Saite in Teile gliedert, so verlangt ihr Verständnis die Rechnungsarten Multiplikation und Division. Er gelangte auf diese Weise zur Systematik der rationalen Zahlen, des Einmaleins und der Brüche. Multiplikation und Division wiederum sind letzten Endes Ergebnisse von Addition und Subtraktion. Auf diese Weise erschloss sich ihm die Welt der ganzen Zahlen und auch der Symbole wie positiv und negativ.

Die Ton-Schwingungsintervalle wiederum bilden einen Ausdruck von imaginären Zahlen.

Die Musik, so erkannte er, entfaltet sich zwischen der Obertonreihe, die arithmetisch dem Gesetz der ganzen Zahlen folgt und den Intervallen, welche sich nur über das geometrische Mittel aufeinander abstimmen lassen.

Nach Arnold Keyserling (*1922, „Geschichte der Denkstile“, Böhler-Verlag Wien, Köln, Weimar) weist die Welt der Töne eine begrenzte Anzahl von Verhältnissen zueinander auf.

Nämlich die Intervalle der Oktave, der Quinte, der Quarte, der Großen Terz, der Kleinen Terz und der Großen Sekund. Ein Ton aber ist nicht etwa eine einzelne Zahl, sondern stellt mit seinen Obertönen – die seine Klangfarbe bestimmen – eine Zahlenreihe dar. Die Zahlenreihe wiederum entsteht durch die Schwingung eines regelmäßigen Körpers, wie die einer Saite. Zusätzlich zur ersten Schwingung entstehen in der Folge Sekundärschwingungen, die eine Saite geometrisch in immer kleinere Abstände gliedern.

Zwischen den Tonwerten entstehen die Intervalle. Werden sie als Schritte verstanden, so kommt jeder nach einer anderen Anzahl zum Ausgangspunkt zurück, sodass das System der Intervalle endlich ist.

Die Notwendigkeit, den Mittelwert der Intervalle bei den Tasteninstrumenten zu finden, führte seit dem 16.Jahrhundert zur Einführung der geometrischen Mitte und erhielt den Namen „temperierte Stimmung“. Ihr Parameter, die irrationale Zahl Wurzel aus 2, wurde jedoch bereits von Pythagoras entdeckt.

Es war auch Pythagoras, der die siebenstufige Tonleiter: c d e f / g a h c in Aneinanderreihung der Quintenschritte schuf.

Früher galt F-Dur (wie fast alle Weihnachtsstücke) als das Maximum an Schönheit, weil darin die Quinte und die Terz so rein klingen wie in keiner anderen Tonart.

In der heutigen kosmologischen Sprache der Superstringtheorie, die eine Weiterentwicklung der Quantenphysik darstellt, sind Materie und Kräfte so etwas wie Musik, gespielt auf hauchdünnen, schwingenden Saiten, englisch „Strings“, die sich in einer „gefaserten“ Raumwelt bewegen. Mit ihrer Schönheit, mathematischen Tiefe und Eleganz scheint die moderne „Superstringtheorie“, vereinfacht auch Saitentheorie genannt, überhaupt eine neue Ära in der Physik einzuläuten.

Mensch und Kosmos

Das Ganze lässt nachdenklich wohl den Schluss zu, dass nicht nur in der Antike, sondern bis in die Jetztzeit eigentlich alle großen wissenschaftlichen Theorien, die großen musikalischen Werke, alle großen Schöpfungen, unauslotbar in ihren Spannungen und Harmonien, nicht durch reine akademische Denkarbeit, sondern durch empfangene Impulse, Visionen, Intuitionen und Inspirationen, einem Echo eines universal Geistigen, ihren Ursprung haben.

Musik, insbesondere die überwältigenden Harmonien großer Musik, oder die geheimnisvolle Ästhetik der Zahlenwelt beziehungsweise der Gesamtheit der mathematischen Strukturen, berühren so tief das Verhältnis von Mensch und Kosmos.

Immerhin, Musik und Mathematik öffnen ein wenig den Türspalt in die uns unsichtbare Wirklichkeit und vermitteln eine Ahnung über dieses weite Feld der Vorstellungen von Raum, Zeit, Energie, Materie, Geist und ein Bewusstsein vom eigenen „Selbst“.

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Dieter Grillmayer
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